Pourquoi les marchés incomplets exigent une refonte des bornes classiques
La dérivation originale de Hansen et Jagannathan repose sur une hypothèse de marchés complets, dans lesquels tous les risques sont échangeables et un unique facteur d'actualisation stochastique price l'ensemble des actifs disponibles. Cette hypothèse est mathématiquement commode mais empiriquement héroïque. Les marchés financiers réels présentent des frictions nombreuses — coûts de transaction, contraintes de liquidité, restrictions sur les ventes à découvert, risques idiosyncratiques non diversifiables — qui les éloignent substantiellement de l'idéal de complétude. Notre équipe considère que prendre ces imperfections au sérieux n'est pas un luxe théorique : c'est une nécessité pour que les bornes conservent leur pertinence diagnostique dans des contextes empiriques réalistes. Lorsque les marchés sont incomplets, l'ensemble des facteurs d'actualisation stochastiques compatibles avec les prix observés n'est plus un singleton mais un espace entier de solutions admissibles, délimité par des bornes supérieures et inférieures sur la valeur du facteur dans chaque état. Cette multiplicité fondamentale modifie la géométrie de la frontière admissible et appelle une reformulation des bornes de variance qui tienne compte de l'ambiguïté intrinsèque de la tarification dans ces environnements.
La multiplicité des facteurs d'actualisation en marchés incomplets
Dans un marché incomplet, l'absence d'arbitrage garantit l'existence d'au moins un facteur d'actualisation stochastique strictement positif, mais elle n'en garantit pas l'unicité. L'ensemble des facteurs admissibles forme un espace convexe de dimension potentiellement infinie, dont les éléments partagent les mêmes prix sur les actifs échangeables mais peuvent différer arbitrairement sur les risques non couverts. La borne de Hansen-Jagannathan dans ce contexte doit être reformulée pour caractériser l'élément de cet espace qui minimise la variance, c'est-à-dire le facteur d'actualisation de variance minimale compatible avec les prix observés. Ce facteur est la projection du facteur d'actualisation vrai sur l'espace des rendements des actifs disponibles, et sa volatilité fournit une borne inférieure qui reste opérationnelle même en présence d'incompétude. Comprendre cette projection est essentiel pour ne pas confondre la borne obtenue en marchés incomplets — nécessairement moins contraignante — avec un assouplissement arbitraire des exigences imposées aux modèles.
L'élargissement de la frontière admissible et ses implications diagnostiques
L'incompétude des marchés élargit la frontière admissible de Hansen-Jagannathan dans l'espace moyenne-écart-type du facteur d'actualisation stochastique. Cet élargissement signifie qu'un modèle structurel a davantage de facilité à satisfaire les bornes dans un cadre de marchés incomplets que dans un cadre de marchés complets, non pas parce que les données sont moins exigeantes, mais parce que l'ambiguïté de la tarification laisse une marge plus large aux facteurs d'actualisation admissibles. Notre équipe insiste sur le fait que cet élargissement doit être interprété avec précaution : il ne valide pas les modèles qui peinent en marchés complets, il reflète simplement que les données disponibles contraignent moins fortement le facteur d'actualisation lorsque certains risques ne sont pas échangeables. Pour que la comparaison entre modèles reste rigoureuse, il est indispensable de définir clairement le degré d'incompétude supposé et les actifs de référence retenus pour construire la frontière, faute de quoi des modèles fondamentalement différents peuvent sembler également plausibles au regard des bornes obtenues.
Frictions de marché et bornes élargies : une honnêteté conceptuelle nécessaire
Les frictions de marché — spreads d'achat-vente, coûts de détention, contraintes réglementaires — introduisent des intervalles de non-arbitrage plutôt que des prix ponctuels. Dans ce cadre, la condition d'absence d'arbitrage ne fixe plus un prix unique pour chaque actif mais un intervalle à l'intérieur duquel le prix doit se situer. Les bornes de Hansen-Jagannathan généralisées à ce cadre prennent la forme de deux frontières distinctes, délimitant une bande admissible dans l'espace moyenne-écart-type du facteur d'actualisation. Un modèle structurel est empiriquement admissible si son facteur d'actualisation se situe à l'intérieur de cette bande. Notre équipe apprécie la transparence conceptuelle de cette formulation : elle rend explicite la part d'ambiguïté que les frictions introduisent dans l'évaluation des modèles, sans prétendre à une précision que les données ne peuvent pas fournir dans des marchés réels imparfaits.
La contrainte de non-négativité et les bornes de Hansen-Jagannathan renforcées
L'une des extensions les plus importantes des bornes originales de Hansen et Jagannathan concerne la contrainte de non-négativité du facteur d'actualisation stochastique. Dans un cadre d'absence d'arbitrage fort — parfois appelé absence d'arbitrage de type deux — le facteur d'actualisation doit être strictement positif dans tous les états du monde. Cette contrainte est économiquement fondamentale : un facteur d'actualisation négatif dans certains états implique que le modèle attribue des prix négatifs à des flux de trésorerie positifs dans ces états, ce qui est absurde. Pourtant, de nombreux modèles d'évaluation d'actifs violènt cette contrainte dans certaines régions de l'espace des paramètres, sans que cette violation soit toujours détectée par les tests standard. Notre équipe considère que l'imposition explicite de la contrainte de non-négativité conduit à des bornes plus sévères et plus discriminantes — exactement ce que l'on attend d'un outil diagnostique rigoureux qui ne ménage aucun modèle sur le fondement de sa seule élégance théorique.
La borne de Hansen-Jagannathan sous contrainte de positivité
Hansen et Jagannathan ont eux-mêmes étudié la version renforcée de leur borne qui impose la stricte positivité du facteur d'actualisation. Dans ce cadre, la frontière admissible se resserre : la contrainte de non-négativité réduit l'espace des facteurs admissibles et relève la borne inférieure sur la volatilité requise. Pour des modèles fondés sur des fonctions de puissance de la consommation, comme le modèle de Lucas standard, le facteur d'actualisation est automatiquement positif par construction — ce qui est une propriété désirable. Mais pour des modèles qui approximent le facteur d'actualisation par des développements de Taylor ou par des projections linéaires, des valeurs négatives peuvent apparaître dans les états défavorables, révélant une incohérence structurelle que la borne sous contrainte de positivité détecte immédiatement. Ce raffinement transforme la borne en un test de cohérence interne des modèles, et non seulement en une contrainte sur leur adéquation aux données de rendements observés.
Lien avec les prix d'Arrow-Debreu et la tarification par états
La contrainte de non-négativité du facteur d'actualisation stochastique est directement reliée à la positivité des prix d'Arrow-Debreu, c'est-à-dire des prix des titres élémentaires qui paient une unité dans un état particulier et rien dans tous les autres. Dans un marché complet, les prix d'Arrow-Debreu sont proportionnels au facteur d'actualisation stochastique pondéré par les probabilités objectives des états. Leur positivité est donc équivalente à la positivité du facteur d'actualisation, et une violation de cette contrainte se traduit par des prix négatifs pour certains titres élémentaires — une impossibilité économique fondamentale. Notre équipe utilise ce lien pour montrer que la borne renforcée de Hansen-Jagannathan est non seulement un test statistique mais un critère de cohérence économique profonde, dont la violation signale que le modèle produit des valorisations d'actifs incompatibles avec les fondements les plus élémentaires de la théorie des prix en équilibre général.
Implications pratiques pour les modèles à forme réduite et les approximations linéaires
Les modèles à forme réduite qui approximent le facteur d'actualisation stochastique par une combinaison linéaire de facteurs de risque observables — comme le modèle de Fama-French ou ses extensions — sont particulièrement exposés au risque de violer la contrainte de non-négativité. Une combinaison linéaire de variables aléatoires peut prendre des valeurs négatives avec une probabilité non nulle, même si ses paramètres sont calibrés pour reproduire les rendements espérés observés. Notre équipe recommande systématiquement de vérifier la fréquence et la magnitude des valeurs négatives générées par ces modèles dans les données d'estimation, car une violation fréquente de la contrainte de positivité signale que le modèle n'est pas structurellement cohérent, indépendamment de sa capacité à reproduire les primes de risque moyennes. Ce diagnostic complémentaire est rarement présenté dans les études empiriques, et son absence constitue une lacune méthodologique que notre équipe considère comme significative.
Extensions récentes : moments d'ordre supérieur, longues maturités et nouvelles frontières de recherche
La frontière de Hansen-Jagannathan classique est construite à partir des deux premiers moments des rendements d'actifs — leurs espérances et leurs covariances. Des extensions importantes ont été proposées pour incorporer des informations supplémentaires contenues dans les moments d'ordre supérieur, les rendements d'actifs à longue maturité et les actifs optionnels. Ces extensions enrichissent considérablement la puissance diagnostique des bornes, au prix d'une complexité technique accrue. Notre équipe présente ici les directions les plus prometteuses, en soulignant ce qu'elles apportent concrètement par rapport aux bornes classiques et les précautions méthodologiques que leur application requiert.
Les bornes de Snow et l'incorporation des moments d'ordre supérieur
Snow a proposé une généralisation des bornes de Hansen-Jagannathan qui exploite les moments d'ordre supérieur des rendements d'actifs — asymétrie, kurtosis et au-delà — pour construire des contraintes plus sévères sur les moments correspondants du facteur d'actualisation stochastique. Ces bornes généralisées sont particulièrement utiles dans des environnements où les rendements présentent des distributions à queues épaisses ou des asymétries marquées, car elles capturent des aspects de la distribution des rendements que les deux premiers moments ne peuvent pas révéler. Du point de vue pratique, l'estimation des moments d'ordre supérieur requiert des échantillons plus longs et est plus sensible aux observations extrêmes, ce qui impose une prudence accrue dans l'interprétation des résultats. Notre équipe considère que ces bornes généralisées sont un outil précieux pour les chercheurs qui travaillent sur des marchés présentant des profils de risque non-gaussiens, à condition de les accompagner d'une analyse rigoureuse de la robustesse statistique des estimations obtenues.
Bornes issues des actifs à longue maturité et de la courbe des taux
Les actifs à longue maturité — obligations d'État de long terme, actifs indexés sur l'inflation, titres à échéance éloignée — contiennent des informations précieuses sur les facteurs d'actualisation stochastiques aux horizons longs, qui sont distincts de ceux qui price les actifs à court terme. Des travaux récents ont montré que les bornes de Hansen-Jagannathan construites à partir de ces actifs sont plus contraignantes pour certaines familles de modèles, notamment ceux qui prétendent expliquer simultanément la structure par terme des taux d'intérêt et les primes de risque sur actions. Inclure des obligations de longue maturité dans l'ensemble des actifs de référence relève la frontière dans des régions de l'espace qui restent invisibles lorsque l'on se limite aux actions et aux bons du Trésor à court terme. Notre équipe recommande cette extension à tous les chercheurs qui évaluent des modèles macrofinanciers à horizon multiple, car elle révèle des tensions entre les implications du modèle à différents horizons que les bornes classiques ne détectent pas.
Marchés d'options et informations sur la distribution risque-neutre
Les prix d'options contiennent des informations sur la distribution complète des rendements sous la mesure risque-neutre, et donc sur la distribution du facteur d'actualisation stochastique dans les états extrêmes. Des extensions des bornes de Hansen-Jagannathan qui exploitent cette information ont été développées, permettant de construire des contraintes sur les moments du facteur d'actualisation dans les queues de distribution — précisément là où les données de rendements d'actifs liquides sont les moins informatives. Ces bornes enrichies par les données d'options sont plus discriminantes pour les modèles qui tentent d'expliquer simultanément les primes de risque observées et le niveau élevé de la volatilité implicite dans les options hors de la monnaie. Notre équipe considère que cette direction de recherche est l'une des plus prometteuses pour affiner le diagnostic des modèles macrofinanciers structurels dans les années à venir, à mesure que les bases de données d'options de haute fréquence deviennent plus accessibles et plus complètes.
Bornes robustes à l'ambiguïté et incertitude de modèle
Une direction de recherche récente, inspirée par la théorie de la robustesse développée par Hansen et Sargent, propose de construire des bornes sur le facteur d'actualisation stochastique qui restent valides même lorsque l'agent économique n'est pas certain du modèle de distribution des rendements et cherche à se prémunir contre des spécifications alternatives proches. Dans ce cadre, l'aversion à l'ambiguïté — distincte de l'aversion au risque standard — peut amplifier la volatilité du facteur d'actualisation admissible et contribuer à satisfaire les bornes de Hansen-Jagannathan avec des paramètres de préférences plus modérés. Notre équipe apprécie la cohérence interne de cette approche, mais note que la calibration du degré d'aversion à l'ambiguïté est elle-même une source d'incertitude, et que les bornes obtenues dans ce cadre dépendent de manière non triviale de l'ensemble des spécifications alternatives considérées par l'agent — un choix de modélisation qui mérite une justification empirique explicite et rigoureuse.