Théorie fondamentale
Les bornes de Hansen-Jagannathan : comprendre ce qu'elles mesurent et pourquoi elles importent encore aujourd'hui
Rédigé par Équipe analytique
15 octobre 2026
D'où viennent ces bornes et que nous disent-elles vraiment ?
En 1991, Lars Peter Hansen et Ravi Jagannathan ont posé une question d'une clarté désarmante : quelle est la volatilité minimale qu'un facteur d'actualisation stochastique doit posséder pour être cohérent avec les rendements d'actifs observés sur les marchés ? La réponse qu'ils ont formulée constitue l'une des contributions les plus durables à la finance théorique moderne. Notre équipe revient régulièrement à cette question fondatrice, non par nostalgie académique, mais parce qu'elle reste d'une acuité remarquable pour évaluer les modèles contemporains. La borne de Hansen-Jagannathan délimite l'espace des facteurs d'actualisation stochastiques plausibles : tout modèle dont le facteur d'actualisation présente une volatilité inférieure à cette borne viole les conditions d'absence d'arbitrage imposées par les données elles-mêmes. C'est un diagnostic, pas un jugement arbitraire.
La relation entre absence d'arbitrage et volatilité du facteur d'actualisation
Dans tout marché exempt d'opportunités d'arbitrage, il existe au moins un facteur d'actualisation stochastique capable de prix les actifs correctement. Hansen et Jagannathan ont montré que cet ensemble de facteurs admissibles est contraint par les premiers et seconds moments des rendements observés. En particulier, le ratio de Sharpe maximal atteignable dans l'espace des actifs disponibles fixe une borne inférieure stricte sur l'écart-type du facteur d'actualisation stochastique, normalisé par son espérance. Cette relation, à la fois élégante et exigeante, signifie que des marchés présentant des primes de risque élevées exigent des facteurs d'actualisation très volatils — une contrainte que de nombreux modèles fondés sur la consommation peinent à satisfaire sans recourir à des hypothèses comportementales inhabituelles ou à des paramètres économiquement difficiles à justifier.
La frontière de Hansen-Jagannathan comme miroir des données de marché
La borne n'est pas un objet théorique abstrait : elle se calcule directement à partir des rendements d'actifs observés, sans imposer de structure de modèle particulière. Notre équipe insiste sur ce point, car il est souvent mal compris. La frontière de Hansen-Jagannathan est tracée dans l'espace moyenne-écart-type du facteur d'actualisation stochastique, et tout modèle doit placer son facteur d'actualisation au-dessus de cette frontière pour être empiriquement admissible. Lorsqu'un modèle échoue à ce test, la distance qui le sépare de la frontière devient elle-même une mesure quantifiable de son inadéquation — c'est ce que la littérature appelle la distance de Hansen-Jagannathan, une métrique d'une grande utilité pratique pour comparer des familles entières de modèles structurels sur un pied d'égalité.
Ce que la borne révèle sur l'énigme de la prime de risque actions
L'une des applications les plus éclairantes des bornes de Hansen-Jagannathan concerne directement l'énigme de la prime de risque sur actions, identifiée par Mehra et Prescott en 1985. Les données historiques montrent que la prime de risque sur actions est si élevée, et la volatilité de la consommation si faible, que le facteur d'actualisation implicite d'un modèle d'agent représentatif standard doit être extraordinairement volatile pour satisfaire la borne. Cela oblige le chercheur à choisir entre trois voies inconfortables : accepter un coefficient d'aversion au risque irréaliste, modifier radicalement la structure des préférences, ou reconnaître que le modèle est fondamentalement inadapté. La borne de Hansen-Jagannathan transforme cette impasse intuitive en un diagnostic précis et quantifiable, ce qui en fait un outil indispensable pour tout programme de recherche sérieux en évaluation d'actifs.
Extensions, nuances et questions ouvertes pour la recherche contemporaine
La borne originale de Hansen-Jagannathan suppose des marchés complets et ne tient pas compte de la possibilité que le facteur d'actualisation stochastique prenne des valeurs négatives, ce qui serait économiquement inadmissible. Des extensions importantes ont été proposées pour corriger ces limitations. Snow a généralisé les bornes aux moments d'ordre supérieur, permettant une discrimination plus fine entre modèles. Bekaert et Liu ont développé des versions conditionnelles, dans lesquelles la borne varie dans le temps en fonction de l'information disponible. Notre équipe considère que ces extensions ne sont pas de simples raffinements techniques : elles modifient substantiellement les conclusions que l'on peut tirer sur la plausibilité des modèles. Un modèle qui satisfait la borne inconditionnelle peut très bien violer sa contrepartie conditionnelle, révélant une incohérence dynamique que la version statique ne détecte pas. C'est précisément dans ces nuances que réside la richesse analytique de ce cadre.
La contrainte de non-négativité et ses conséquences pour les bornes
Lorsque l'on impose que le facteur d'actualisation stochastique soit strictement positif — ce qu'exige l'absence d'arbitrage fort — les bornes de variance deviennent plus contraignantes. Hansen et Jagannathan ont eux-mêmes étudié cette version renforcée, montrant que certains modèles qui semblent admissibles sous la borne ordinaire violent la contrainte de non-négativité de manière systématique. Cette observation est loin d'être anodine : elle signifie que le modèle attribue implicitement des prix négatifs à certains états du monde, ce qui est économiquement absurde. Prendre cette contrainte au sérieux conduit à des bornes plus sévères, plus difficiles à satisfaire, et donc plus discriminantes — exactement ce que l'on attend d'un bon outil diagnostique pour évaluer la solidité structurelle d'un modèle d'évaluation d'actifs.
Bornes conditionnelles et dynamique temporelle des primes de risque
Les primes de risque varient dans le temps, et les bornes de Hansen-Jagannathan doivent en tenir compte pour rester pertinentes. Dans un cadre conditionnel, la borne est recalculée à chaque période en fonction des rendements conditionnels espérés et de leurs variances. Un modèle capable de reproduire la variabilité temporelle des primes de risque doit produire un facteur d'actualisation dont la volatilité conditionnelle reste au-dessus de la frontière conditionnelle à chaque instant. Ce critère est nettement plus exigeant que son homologue inconditionnel, car il contraint simultanément le niveau moyen et la dynamique temporelle du facteur d'actualisation. Notre équipe considère que ce test conditionnel constitue l'épreuve de vérité ultime pour les modèles macrofinanciers à habitudes ou à agents hétérogènes qui prétendent expliquer la prévisibilité des rendements boursiers.