Facteur d'actualisation stochastique et frontière moyenne-variance : une relation que
tout modèle doit respecter
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Équipe analytique
28 octobre 2026
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La frontière moyenne-variance de Markowitz et le facteur d'actualisation
stochastique de la théorie moderne des prix d'actifs semblent appartenir à deux
mondes distincts. L'un relève de l'optimisation de portefeuille, l'autre
de la théorie de l'équilibre général. Pourtant, ces deux objets sont reliés par
une correspondance mathématique d'une élégance remarquable, et c'est
précisément cette correspondance que les bornes de Hansen-Jagannathan rendent
explicite. Comprendre ce lien n'est pas un exercice formel gratuit : c'est
la clé pour saisir pourquoi la borne de variance fixe une contrainte aussi naturelle
sur les modèles d'évaluation, et pourquoi sa violation constitue un
avertissement que tout chercheur rigoureux doit prendre au sérieux. Notre équipe
vous propose de parcourir ce pont conceptuel avec la lenteur qu'il mérite.
Le ratio de Sharpe maximal comme borne naturelle
Dans tout univers d'actifs financiers, il existe un portefeuille tangent dont le
ratio de Sharpe — le rendement excédentaire divisé par l'écart-type — est le
plus élevé atteignable. Cette quantité, apparemment ancrée dans la gestion de
portefeuille, joue un rôle central dans la théorie des prix d'actifs : elle est
directement égale au rapport entre l'écart-type et l'espérance du facteur
d'actualisation stochastique. En d'autres termes, un marché sur lequel les
investisseurs peuvent obtenir un ratio de Sharpe élevé contraint mécaniquement le
facteur d'actualisation stochastique à être très volatile relativement à sa
moyenne. Ce n'est pas une coïncidence ou une curiosité algébrique : c'est
une conséquence directe de la condition fondamentale de prix, selon laquelle le prix
d'un actif est l'espérance du produit de son rendement brut par le facteur
d'actualisation. Les bornes de Hansen-Jagannathan formalisent cette contrainte
et la transforment en un test opérationnel pour tout modèle structurel qui prétend
expliquer les rendements observés sur un marché donné.
Le ratio de Sharpe maximal observé fixe la volatilité minimale admissible du
facteur d'actualisation stochastique.
Pourquoi la frontière de Hansen-Jagannathan est une contrainte, pas une courbe de
rendement
Une erreur fréquente consiste à interpréter la frontière de Hansen-Jagannathan comme
une cible que les modèles cherchent à atteindre, à la manière d'une frontière
efficiente de portefeuille. Notre équipe insiste sur la distinction : la frontière
de Hansen-Jagannathan est une borne inférieure, pas un optimum. Elle délimite la
région dans l'espace moyenne-écart-type du facteur d'actualisation
stochastique à l'intérieur de laquelle aucun facteur admissible ne peut se
trouver. Tout modèle dont le facteur d'actualisation tombe en dessous de cette
frontière produit des prix d'actifs qui contredisent les données observées,
quelle que soit la sophistication de sa structure comportementale ou
macroéconomique. La frontière est donc une contrainte de cohérence externe imposée
par les données elles-mêmes, indépendamment de toute hypothèse de modèle. Cette
distinction conceptuelle est fondamentale pour utiliser correctement les bornes
comme outil de diagnostic, et pour éviter de confondre un modèle bien calibré avec
un modèle empiriquement plausible — deux propriétés qui ne coïncident pas
nécessairement.
La frontière de Hansen-Jagannathan est une contrainte de cohérence externe,
jamais un objectif d'optimisation.
La distance de Hansen-Jagannathan comme mesure d'inadéquation
Lorsqu'un modèle viole la borne de Hansen-Jagannathan, la question naturelle qui
suit est : de combien ? La distance de Hansen-Jagannathan répond précisément à cette
interrogation. Elle mesure la déviation minimale entre les prix d'actifs
produits par le modèle et les prix observés, en cherchant le facteur
d'actualisation le plus proche du facteur du modèle qui satisfait exactement les
contraintes de prix imposées par les données. Cette distance est nulle si et
seulement si le modèle est empiriquement admissible. Elle est positive — et souvent
substantielle — pour la plupart des modèles standards fondés sur la consommation
agrégée. Notre équipe utilise régulièrement cette métrique comme point de départ
pour comparer des familles de modèles entre elles : deux modèles dont les facteurs
d'actualisation sont situés dans des régions différentes de l'espace peuvent
présenter des distances de Hansen-Jagannathan comparables, ce qui oblige à une
analyse plus fine de leur structure respective pour comprendre l'origine de
leurs limites empiriques.
La distance de Hansen-Jagannathan quantifie précisément l'inadéquation
d'un modèle aux données de marché.
Marchés incomplets et élargissement de la frontière admissible
La dérivation originale de Hansen et Jagannathan suppose des marchés complets, dans
lesquels tous les risques peuvent être couverts et un unique facteur
d'actualisation stochastique price tous les actifs. Dans les marchés incomplets,
la situation est sensiblement différente : il existe une multiplicité de facteurs
d'actualisation stochastiques cohérents avec les prix observés, et la frontière
admissible s'élargit en conséquence. Cet élargissement n'est pas un
assouplissement arbitraire des exigences : il reflète fidèlement l'ambiguïté
fondamentale des prix d'état qui caractérise les marchés où certains risques ne
peuvent pas être échangés. Pour le chercheur, cela signifie que les bornes de
Hansen-Jagannathan dans les marchés incomplets sont moins discriminantes, mais aussi
plus honnêtes sur ce que les données peuvent réellement révéler. Notre équipe
considère que cette distinction entre marchés complets et incomplets est l'une
des premières questions à trancher avant d'interpréter toute analyse empirique
fondée sur ces bornes.
Dans les marchés incomplets, la frontière admissible s'élargit, rendant les
bornes moins discriminantes mais plus honnêtes.
Implications pour les modèles macrofinanciers structurels
Les modèles macrofinanciers structurels — qu'ils reposent sur des préférences à
habitudes, des agents hétérogènes, un apprentissage adaptatif ou des frictions de
marché — cherchent tous à produire un facteur d'actualisation stochastique
suffisamment volatile pour satisfaire les bornes de Hansen-Jagannathan, tout en
restant économiquement interprétable. Cette tension est au cœur de la recherche
contemporaine en finance des actifs, et elle n'est toujours pas résolue de
manière pleinement satisfaisante. Les préférences à habitudes externes de Campbell
et Cochrane, par exemple, génèrent un facteur d'actualisation très volatile par
construction, mais au prix d'hypothèses comportementales que certains chercheurs
jugent difficiles à défendre sur le plan microéconomique. Les modèles à agents
hétérogènes offrent une autre voie, mais leur complexité computationnelle rend
difficile une évaluation systématique par rapport aux bornes conditionnelles. Notre
équipe pense que ces tensions productives sont précisément ce qui rend ce champ de
recherche aussi vivant et aussi exigeant intellectuellement.
La tension entre volatilité du facteur d'actualisation et plausibilité
économique reste le défi central des modèles macrofinanciers.
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